ВОПРОСЫ ПО КУРСУ "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" (2-ой семестр, весна 2001 г.)
1. Линейные пространства
	Определение линейного пространства и его свойства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Связь базиса с размерностью линейного пространства. Преобразование базиса и координат. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства и линейные оболочки. Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Теоремы о ранге произведения двух матриц.
2. Системы линейных уравнений
	Критерий совместности системы линейных уравнений. Однородная система уравнений и ФСР. Неоднородная система линейных уравнений.
3. Евклидово пространство (действительное и комплексное)
	Понятие евклидова пространства. Длина и угол в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Свойства ортогональных матриц. Разложение евклидова пространства на прямую сумму взаимоно ортогональных подпространств.
4. Линейные операторы
	Линейный оператор и его матрица. Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в Rn и квадратными матрицами. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса. Линейное пространство линейных операторов. Произведение операторов. Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Сопряженный и симметричный (самосопряженный) операторы и их свойства. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов симметричного оператора. Ортогональный оператор и его свойства.
5. Билинейные и квадратичные формы. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
	Ранг кадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при преобразовании переменных. Закон инерции квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Приведение каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка. Знакоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Билинейная форма. Приведение симметричной билинейной формы к каноническому виду. Способы введения скалярного произведения в конечномерных линейных пространствах.
6. Элементы теории групп
	Понятие группы. Понятие числового поля. Примеры групп и числовых полей. Преобразование Лоренца.
7. Элементы теории тензоров
	Понятие тензора. Примеры. Операции над тензорами